Question

【题目】如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm，BC=6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，点Q以2cm/s的速度向点D移动．当点P运动到点B停止时，点Q也随之停止运动．

（1）问几秒后，点P和点Q的距离是10cm？
（2）问几秒后，以P、Q、D三点为顶点的三角形为直角三角形？
（提示：根据不同情况画出不同的图形，再给予解决问题．）

Answer 1

【答案】
（1）解：设x秒后，点P和点Q的距离是10cm，

（16﹣2x﹣3x）2+62=102，

（16﹣5x）2=64，

16﹣5x=±8，

x1=1.6，x2=4.8，

答：1.6秒或4.8秒时，点P和点Q的距离是10cm；

（2）解：∵四边形ABCD是矩形，

∴CD=AB=16，AD=BC=6，

根据题意得：AP=3t，CQ=2t，

∴DQ=CD﹣CQ=16﹣2t，

过点Q作QM⊥AB于点M，

∴四边形BCQM是矩形，

∴QM=BC=6，BM=CQ=2t，

∴PM=AB﹣AP﹣BM=16﹣5t，

①如图1，

若∠DPQ=90°，

∴∠APD+∠MPQ=90°，

∵∠APD=∠ADP=90°，

∴∠ADP=∠MPQ，

∵∠A=∠PMQ=90°，

∴△APD∽△MQP，

∴ = ，

∴ = ，

解得：t=2或t= ；

②如图2，

若∠DQP=90°，则有DQ2=DP2﹣PQ2，

∴（16﹣2t）2=62+（3t）2﹣62，

解得：t= ，

综上所述，当t=2或 或 时，△PDQ为直角三角形．

【解析】（1）根据矩形的性质和勾股定理，得到一元二次方程，求出这个一元二次方程的解即可；（2）根据矩形的性质和速度得到各个边的关系式，当∠DPQ=90°时，得到△APD∽△MQP，得到比例求出t的值；当∠DQP=90°时，根据勾股定理求出t的值，在解一元二次方程时，注意实际意义.