Question

【题目】如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P．OF∥BC交AC于点E，交PC于点F，连结AF．

（1）判断AF与⊙O的位置关系并说明理由；
（2）已知半径为20，AF=15，求AC的长．

Answer 1

【答案】
（1）解：证明：连接OC，如图所示：

∵AB是⊙O直径，

∴∠BCA=90°，

∵OF∥BC，

∴∠AEO=90°，∠1=∠2，∠B=∠3，

∴OF⊥AC，

∵OC=OA，

∴∠B=∠1，

∴∠3=∠2，

在△OAF和△OCF中，

，

∴△OAF≌△OCF（SAS），

∴∠OAF=∠OCF，

∵PC是⊙O的切线，

∴∠OCF=90°，

∴∠OAF=90°，

∴FA⊥OA，

∴AF是⊙O的切线；

（2）解：∵⊙O的半径为20，AF=15，∠OAF=90°，

∴OF= = =25

∵FA⊥OA，OF⊥AC，

∴AC=2AE，△OAF的面积= AFOA= OFAE，

∴15×20=25×AE，

解得：AE=12，

∴AC=2AE=24．

【解析】（1）根据题意由AB是⊙O直径，得到∠BCA=90°，已知OF∥BC，得到∠3=∠2，根据两边对应相等且夹角对应相等的两三角形全等，得到△OAF≌△OCF，再由PC是⊙O的切线，得到AF是⊙O的切线；（2）在⊙O中由勾股定理求出OF的值，由FA⊥OA，OF⊥AC，得到△OAF的面积的代数式，求出AC=2AE的值.