Question

【题目】在△ABC中，AB=AC，以BC为边作等边△BDC，连接AD．

（1）如图1，直接写出∠ADB的度数　 　；

（2）如图2，作∠ABM=60°在BM上截取BE，使BE=BA，连接CE，判断CE与AD的数量关系，请补全图形，并加以证明；

（3）在（2）的条件下，连接DE，AE．若∠DEC=60°，DE=2，求AE的长．

Answer 1

【答案】（1）150°；（2）CE=AD，证明详见解析；（3）AE= ．

【解析】

（1）只要根据已知条件易证△ADB≌△ADC，由全等三角形的性质可得∠ADB=∠ADC，根据周角的定义即可求得∠ADB的度数；（2）结论为CE=AD，证明△ABD≌△EBC，根据全等三角形的性质即可证得结论；（3）证明△BDE是直角三角形，△ABE是等边三角形即可解决问题；

解：（1）如图1中，

∵△BDC是等边三角形，

∴BD=DC，∠BDC=60°，

在△ADB和△ADC中，

，

∴△ADB≌△ADC，

∴∠ADB=∠ADC，

∵∠ADB+∠ADC=360°﹣60°，

∴∠ADB=150°，

故答案为150°．

（2）结论：CE=AD．

理由：∵∠ABE=∠DBC=60°

∴∠ABE﹣∠DBM=∠DBC﹣∠DBM

∴∠1=∠2，

∵AB=BE，BD=DC

∴△ABD≌△EBC

∴CE=AD．

（3）解：

∵△ABD≌△EBC

∴∠BCE=∠BDA=150°

∵∠DCE=90°，∠DEC=60°

∴∠CDE=30°

∵DE=2

∴CE=1，DC=BC=，

∵∠BDE=60°+30°=90°

DE=2，BD=

由勾股BE=，

∵∠ABE=60°AB=BE

∴△ABE是等边三角形

∴AE=BE=．