Question

【题目】下面是小方设计的“作一个30°角”的尺规作图过程．

已知：直线AB及直线AB外一点P．

求作：直线AB上一点C，使得∠PCB＝30°．

作法：

①在直线AB上取一点M；

②以点P为圆心，PM为半径画弧，与直线AB交于点M、N；

③分别以M、N为圆心，PM为半径画弧，在直线AB下方两弧交于点Q．

④连接PQ，交AB于点O．

⑤以点P为圆心，PQ为半径画弧，交直线AB于点C且点C在点O的左侧．则∠PCB就是所求作的角．

根据小方设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规补全图形；（保留作图痕迹）

（2）完成下面的证明．

证明：∵PM＝PN＝QM＝QN，

∴四边形PMQN是　 　．

∴PQ⊥MN，PQ＝2PO（　 　）．（填写推理依据）

∵在Rt△POC中，sin∠PCB＝＝　 　（填写数值）

∴∠PCB＝30°．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）菱形，菱形对角线互相垂直平分，．

【解析】

（1）根据图中所给的作图步骤，补全图形，保留作图痕迹．

（2）根据菱形的判定与性质，即可推得四边形PMQN是菱形．菱形对角线互相垂直平分，可得PQ⊥MN，PQ＝2PO，利用正弦函数即可求得所作的叫是30°角．

（1）如图即为补全的图形；

（2）完成下面的证明．

∵PM＝PN＝QM＝QN，

∴四边形PMQN是菱形．

∴PQ⊥MN，PQ＝2PO（菱形对角线互相垂直平分）．

∵在Rt△POC中，sin∠PCB＝，

∴∠PCB＝30°．

故答案为：菱形，菱形对角线互相垂直平分，．