Question

【题目】在平面直角坐标系中,

(1) 取点M(1，0)，则点M到直线l： 的距离为_________，取直线与直线l平行，则两直线距离为_________.

(2) 已知点P为抛物线y＝x2－4x的x轴上方一点，且点P到直线l： 的距离为，求点P的坐标.

(3) 若直线y＝kx＋m与抛物线y＝x2－4x相交于x轴上方两点A、B（A在B的左边），且∠AOB＝90°，求点P(2，0)到直线y＝kx＋m的距离的最大时直线y＝kx＋m的解析式.

Answer 1

【答案】(1) ， ;(2) P(， );(3) y＝－2x＋9.

【解析】试题分析：(1) 利用直线的正切值即可.(2) 先求出直线与坐标轴的交点坐标，过点E作EG⊥EF交y轴于G，根据已知条件求出EG=,过点G并且和直线平行的另一条直线就可以画出，根据平行线的性质，求出解析式，联立抛物线解析式即可求出点P的坐标.(3)本题设A(x1，x12－4x)、B(x2，x22－4x)，利用一线三等角，得到相似三角形，得AC·BD＝OC·OD，求出两根的关系是，再联立方程组，求出直线经过的定点，从而确定距离最远的位置，求出解析式即可.

试题解析：

解：(1) ， （利用直线的tan值）

(2) 设直线l：y＝x－1与x轴、y轴相交于点E、F

∴E(2，0)、F(0，－1)

过点E作EG⊥EF交y轴于G

∴tan∠EGF＝

∴OG＝4

∴GE＝

∴过点G作直线l的平行线交抛物线于点P，则点P即为所求的点

设直线PG的解析式为

由x2－4x＝，解得

∴P(， )

(3) 设A(x1，x12－4x)、B(x2，x22－4x)

过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥x轴于D

∴Rt△AOC∽Rt△OBD

∴AC·BD＝OC·OD

∴(x12－4x1)(x22－4x2)＝－x1x2，x1x2－4(x1＋x2)＋17＝0

联立，整理得x2－(k＋4)x－m＝0

∴x1＋x2＝k＋4，x1x2＝－m

∴－m－4(k＋4)＋17＝0，m＝1－4k

∴直线的解析式为y＝kx－4k＋1，必过定点Q(4，1)

当点P(2，0)到直线y＝kx＋m的距离最大时，PQ⊥AB

此时直线的解析式为y＝－2x＋9.