Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx+n经过点A（3，0）、B（0，﹣3），点P是直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为t．

（1）分别求出直线AB和这条抛物线的解析式．
（2）若点P在第四象限，连接AM、BM，当线段PM最长时，求△ABM的面积．
（3）是否存在这样的点P，使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把A（3，0）B（0，﹣3）代入y=x2+mx+n，得

，

解得： ，

所以抛物线的解析式是y=x2﹣2x﹣3．

设直线AB的解析式是y=kx+b，

把A（3，0）B（0，﹣3）代入y=kx+b，得： ，

解得： ，

所以直线AB的解析式是y=x﹣3

（2）

解：设点P的坐标是（t，t﹣3），则M（t，t2﹣2t﹣3），

∵p在第四象限，

∴PM=（t﹣3）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣t2+3t=﹣（t﹣ ）2+ ，

当t= 时，二次函数取得最大值 ，即PM最长值为 ，

则S△ABM=S△BPM+S△APM= × ×3=

（3）

解：存在，

理由如下：

∵PM∥OB，

∴当PM=OB时，点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形，

①当P在第四象限：PM=OB=3，PM最长时只有 ，所以不可能有PM=3．

②当P在第一象限：PM=OB=3，（t2﹣2t﹣3）﹣（t﹣3）=3，

解得t1= ，t2= （舍去），

所以P点的横坐标是 ；

③当P在第三象限：PM=OB=3，t2﹣3t=3，解得t1= （舍去），t2= ，

所以P点的横坐标是 ．

所以P点的横坐标是 或

【解析】（1）待定系数法分别求解可得；（2）根据题意可设点P的坐标是（t，t﹣3），则M（t，t2﹣2t﹣3），继而可得PM=（t﹣3）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣（t﹣ ）2+ ，知PM最长值为 ，根据S△ABM=S△BPM+S△APM可得答案；（3）由PM∥OB，可知当PM=OB时点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形，据此可分以下三种情况：①当P在第四象限；②当P在第一象限；③当P在第三象限；由PM=OB=3列出关于t的方程分别求解可得．
【考点精析】关于本题考查的二次函数的图象和二次函数的性质，需要了解二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点；增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小才能得出正确答案．