Question

【题目】阅读下面材料并解决有关问题：

我们知道：|x|＝．现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式|x+1|+|x﹣2|时，可令x+1＝0和x﹣2＝0，分别求得x＝﹣1，x＝2（称﹣1，2分别为|x+1|与|x﹣2|的零点值）．在实数范围内，零点值x＝﹣1和，x＝2可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：

①x＜﹣1；②﹣1≤x＜2；③x≥2．

从而化简代数式|x+1|+|x﹣2|可分以下3种情况：

①当x＜﹣1时，原式＝﹣（x+1）﹣（x﹣2）＝﹣2x+1；

②当﹣1≤x＜2时，原式＝x+1﹣（x﹣2）＝3；

③当x≥2时，原式＝x+1+x﹣2＝2x﹣1．综上讨论，原式＝．

通过以上阅读，请你解决以下问题：

（1）化简代数式|x+2|+|x﹣4|．

（2）求|x﹣1|﹣4|x+1|的最大值．

Answer 1

【答案】(1)原式；(2)的最大值为2.

【解析】

（1）分为x＜﹣2、﹣2≤x＜4、x≥4三种情况化简即可；

（2）分x＜﹣1、﹣1≤x≤1、x＞1分别化简，结合x的取值范围确定代数式值的范围，从而求出代数式的最大值．

（1）令和，分别求得，x=4，（称－2，4分别为和的零点值）．

在实数范围内，零点值和，可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：

（1）；（2）；（3）

从而化简代数式可分以下3种情况：

（1）当时，原式；

（2）当时，原式；

（3）当时，原式．

综上所述：原式．

（2）令x－1=0和x+1=0，分别求得x=1，x=－1．

在实数范围内，零点值x=－1和x=1，可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：

（1）x＜－1；（2）；（3）．

从而化简代数式可分以下3种情况：

（1）当时，原式；

（2）当时，原式；

（3）当x＞1时，原式．

综上所述：的最大值为2．