Question

【题目】已知△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于点D，DE∥BC，

（1）如果点E是边AC的中点，AC=5cm，求DE的长；

（2）如图2，若DE平分∠ADC，在BC边上取点F，使∠DFC=60°，若BC=7，BF=2，求DF的长.

Answer 1

【答案】（1）DE=2.5cm；（2）DF＝3．

【解析】

（1）根据角平分线定义得到∠BCD =∠ACD，由于DE∥BC，根据平行线性质得∠EDC =∠BCD，则∠EDC =∠ACD，然后可得ED=EC，由点E是边AC的中点，AC=5cm得EC=2.5cm，所以DE=2.5cm；

（2）作DG⊥BC于点G，易求GB、GF的长，再根据在直角三角形中30°的锐角所对的直角边是斜边的一半即可求出DF的长．

解：（1）∵CD平分∠ACB，

∴∠BCD =∠ACD，
∵DE∥BC，

∴∠EDC =∠BCD，

∴∠EDC =∠ACD，
∴ED=EC，
∵点E是边AC的中点，AC=5cm，
∴EC=2.5cm，

∴DE=2.5cm；

（2）作DG⊥BC于点G，

∵DE∥BC，

∴∠ADE＝∠B，∠EDC＝∠DCB，

∵DE平分∠ADC，

∴∠ADE＝∠EDC，

∴∠B＝∠DCB，

∴DB＝DC．

∵DG⊥BC，

∴GB＝BC=×7＝3.5，

∴GF＝GBBF＝3.52＝1.5，

∵Rt△DGF中，∠DFG＝60°，

∴∠FDG＝30°

∴DF＝2GF＝2×1.5＝3．