Question

【题目】我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形．

（1）请你写出一个等对边四边形的名称；

（2）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，设CD、BE相交于点O，若∠A=50°，．请写出图中其余等于50°的角，并猜想图中哪个四边形为等对边四边形(不需证明）；

（3）在中，如果∠A是不等于50°的锐角，点D、E分别在AB、AC上，且．探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】（1）平行四边形；（2）∠BOD＝50°，∠COE＝50°，猜想：四边形DBCE是等对边四边形；（3）存在等对边四边形DBCE，证明见解析．

【解析】

（1）根据等对边四边形的定义即可得出答案；

（2）根据三角形外角的性质可得∠BOD＝50°，根据对顶角的性质可得∠COE＝50°；猜想四边形DBCE是等对边四边形；

（3）作CG⊥BE于G点，作BF⊥CD交CD延长线于F点．易证△BCF≌△CBG，进而证明△BDF≌△CEG，所以BD＝CE，所以四边形DBCE是等对边四边形．

解：（1）平行四边形，

∵平行四边形有两组对边相等，

∴平行四边形是等对边四边形；

（2）∠BOD＝50°，∠COE＝50°，

∵∠A=50°，

∵∠BOD＝∠OBC＋∠OCB＝25°＋25°＝50°，

∴∠COE＝50°，

猜想：四边形DBCE是等对边四边形（证明过程见第三问）；

（3）存在等对边四边形DBCE．

证明：如图，作CG⊥BE于G点，作BF⊥CD交CD延长线于F点．

∵∠DCB＝∠EBC＝∠A，BC为公共边，

∴△BCF≌△CBG，

∴BF＝CG，

∵∠BDF＝∠ABE＋∠EBC＋∠DCB，∠BEC＝∠ABE＋∠A，

∴∠BDF＝∠BEC，

∴△BDF≌△CEG，

∴BD＝CE，

∴四边形DBCE是等对边四边形．