Question

【题目】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=30，AB=50．点P是AB边上任意一点，直线PE⊥AB，与边AC或BC相交于E．点M在线段AP上，点N在线段BP上，EM=EN，sin∠EMP=．

（1）如图1，当点E与点C重合时，求CM的长；

（2）如图2，当点E在边AC上时，点E不与点A、C重合，设AP=x，BN=y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；

（3）若△AME∽△ENB，求AP的长．

Answer 1

【答案】(本题满分14分，第(1)小题满分4分，第(2)、(3)小题满分各5分)

[解] (1) 由AE=40，BC=30，AB=50，CP=24，又sinEMP=CM=26。

(2) 在Rt△AEP與Rt△ABC中，∵EAP=BAC，∴ Rt△AEP~ Rt△ABC，

∴，即，∴EP=x，

又sinEMP=tgEMP===，∴MP=x=PN，

BN=AB-AP-PN=50-x-x=50-x(0<x<32)。

(3) j當E在線段AC上時，由(2)知，，即，EM=x=EN，

又AM=AP-MP=x-x=x，

由題設△AME~ △ENB，∴，=，解得x=22=AP。

k當E在線段BC上時，由題設△AME~ △ENB，∴AEM=EBN。

由外角定理，AEC=EAB+EBN=EAB+AEM=EMP，

∴Rt△ACE~Rt△EPM，，即，CE=…j。

設AP=z，∴PB=50-z，

由Rt△BEP~Rt△BAC，，即=，BE=(50-z)，∴CE=BC-BE=30-(50-z)…k。

由j，k，解=30-(50-z)，得z=42=AP。

【解析】略