Question

【题目】（本题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为，点A、D、G在轴上，坐标原点O为AD的中点，抛物线过C、F两点，连接FD并延长交抛物线于点M．

（1）若，求m和b的值；

（2）求的值；

（3）判断以FM为直径的圆与AB所在直线的位置关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）m=，b=1+（2）=1+（3）以FM为直径的圆与AB所在的直线相切

【解析】

试题分析：（1）由a代入可求C，再根据待定系数法可求得m值，然后把F点坐标代入可求b；

（2）把C（2a，a）、F（2b，2b+1）代入y=得可求得=1+；

（3）由C、F、D的坐标可求得m=，然后可求得用a表示的F点的坐标，求出直线MF的解析式，代入二次函数，求得M点的坐标，然后过M作x轴的平行线，过F作y轴平行线相交于点H，取MF得中点Q，做垂线QN垂直AB 与N，交MH于P．在等腰直角三角形MFH中，求得QN=FM,进而得出结论．

试题解析：解：（1）∵a=1

∴把C（2，1）代入y=得4m=1

∴m=

把F（2b，2b+1）代入得

解得b=1±

负值舍去，所以b=1+

（2）把C（2a，a）、F（2b，2b+1）代入y=得

消去m得

∴

故=1±

∴=1+

以FM为直径的圆与AB所在的直线相切，理由如下：

C（2a，a）、F（2b，2b+1）、D（0，a）

把C（2a，a）代入y=得a=m

∴m=

由（2）的结果=1+可得

故F（2a+2a，3a+2a）

设MF：y=kx+a（k＞0）

把F点坐标代入得k=1

所以MF得解析式为y=x+a

将y=x+a代入，解得x=2a±2a

所以M（2a-2a，3a-2a）

过M作x轴的平行线，过F作y轴平行线相交于点H，取MF得中点Q，做垂线QN垂直AB 与N，交MH于P．

在等腰直角三角形MFH中，MH=FH=4a

∴MF=8a

QN=2a+（3a-2a）+a=4a

故QN=MF

所以以FM为直径的圆与直线AB相切．