Question

【题目】（1）如图（1），已知任意三角形ABC，过点C作DE∥AB；

①求证：∠DCA=∠A； ②求证：∠A+∠B+∠ACB=180°；

（2）如图（2），求证：∠AGF=∠AEF+∠F；

（3）如图（3），AB∥CD，∠CDE=119°，GF交∠DEB的平分线EF于点F，∠AGF=150°，求∠F．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析（3）29.5°．

【解析】分析：（1）①根据“两直线平行，内错角相等”可证明；②结合①的证明，转化为平角的意义证明三角形的内角和；

（2）根据平角的意义和三角形的内角和，等量代换即可；

（3）先根据两直线平行，内错角相等，同旁内角互补，求得∠AED和∠DEB的度数，再根据平角的意义和角平分线的性质求得∠DEF的度数，结合（2）的结论可求解.

详解：证明：（1）①∵DE∥BC，∴∠DCA=∠A；

②如图1所示，在△ABC中，∵DE∥BC，

∴∠B=∠ECA，∠DCA=∠A（内错角相等）．

∵∠ECA+∠BCA+∠DCA=180°，

∴∠A+∠B+∠C=180°．

即三角形的内角和为180°；

（2）∵∠AGF+∠FGE=180°，

由（1）知，∠GEF+∠F+∠FGE=180°，

∴∠AGF=∠AEF+∠F；

（3）∵AB∥CD，∠CDE=119°，

∴∠DEB=119°，∠AED=61°，

∵GF交∠DEB的平分线EF于点F，

∴∠DEF=59.5°，

∴∠AEF=120.5°，

∵∠AGF=150°，

∵∠AGF=∠AEF+∠F，

∴∠F=150°﹣120.5°=29.5°．