Question

【题目】如图，△ABC的边BC在直线l上，AC⊥BC，且AC＝BC，△EFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，且EF＝FP.

(1)在图①中，请你通过观察、测量、猜想，写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系；

(2)将△EFP沿直线l向左平移到图②的位置时，EP交AC于点Q，连接AP，BQ，猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；

(3)将△EFP沿直线l向左平移到图③的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连接AP，BQ，你认为(2)中所猜想的BQ与AP的数量关系与位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1)AB＝AP，AB⊥AP (2)BQ＝AP，BQ⊥AP (3)成立

【解析】

（1）根据图形就可以猜想出结论．（2）要证BQ=AP，可以转化为证明Rt△BCQ≌Rt△ACP；要证明BQ⊥AP，可以证明∠QMA=90°，只要证出∠1=∠2，∠3=∠4，∠1+∠3=90°即可证出．（3）类比（2）的证明就可以得到，结论仍成立．

(1)AB＝AP，AB⊥AP

证明：∵AC⊥BC且AC=BC，

∴△ABC为等腰直角三角形，

∴∠BAC=∠ABC=（180°﹣∠ACB）=45°，

又∵△ABC与△EFP全等，

同理可证∠PEF=45°，

∴∠BAP=45°+45°=90°，

∴AB=AP且AB⊥AP；

（2）BQ=AP；BQ⊥AP．

证明：①由已知，得EF=FP，EF⊥FP，

∴∠EPF=45°．

又∵AC⊥BC，

∴∠CQP=∠CPQ=45°．

∴CQ=CP．

∵在Rt△BCQ和Rt△ACP中，

BC=AC，∠BCQ=∠ACP=90°，CQ=CP，

∴△BCQ≌△ACP（SAS），

∴BQ=AP．

②如图，延长BQ交AP于点M．

∵Rt△BCQ≌Rt△ACP，

∴∠1=∠2．

∵在Rt△BCQ中，∠1+∠3=90°，又∠3=∠4，

∴∠2+∠4=∠1+∠3=90°．

∴∠QMA=90°．

∴BQ⊥AP；

(3)成立．证明：∵∠EPF＝45°，∴∠CPQ＝45°.又∵AC⊥BC，∴∠CQP＝∠CPQ＝45°，∴CQ＝CP.由SAS可证△BCQ≌△ACP，∴BQ＝AP.延长QB交AP于点N，则∠PBN＝∠CBQ.∵△BCQ≌△ACP，∴∠BQC＝∠APC.在Rt△BCQ中，∠BQC＋∠CBQ＝90°，∴∠APC＋∠PBN＝90°，∴∠PNB＝90°，∴BQ⊥AP