Question

【题目】如图，现有一张边长为8的正方形纸片，点为边上的一点（不与点、点重合），将正方形纸片折叠，使点落在处，点落在处，交于，折痕为，连结、.

（1）求证：；

（2）求证：；

（3）当时，求的长.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）PH=．

【解析】

（1）根据翻折变换的性质得出∠PBC=∠BPH，进而利用平行线的性质得出∠APB=∠PBC即可得出答案；

（2）首先过B作BQ⊥PH，垂足为Q，易证得△ABP≌△QBP，进而得出△BCH≌△BQH，即可得出AP+HC=PH．

（3）首先设AE=x，则EP=8-x，由勾股定理可得：在Rt△AEP中，AE2+AP2=PE2，即可得方程：x2+22=（8-x）2，即可求得答案AE的长，易证得△DPH∽△AEP，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．

（1）证明：∵PE=BE，

∴∠EPB=∠EBP，

又∵∠EPH=∠EBC=90°，

∴∠EPH-∠EPB=∠EBC-∠EBP．

即∠BPH=∠PBC．

又∵四边形ABCD为正方形

∴AD∥BC，

∴∠APB=∠PBC．

∴∠APB=∠BPH．

（2）证明：过B作BQ⊥PH，垂足为Q，

由（1）知，∠APB=∠BPH，

在△ABP与△QBP中，

，

∴△ABP≌△QBP（AAS），

∴AP=QP，BA=BQ．

又∵AB=BC，

∴BC=BQ．

又∵∠C=∠BQH=90°，

∴△BCH和△BQH是直角三角形，

在Rt△BCH与Rt△BQH中，

，

∴Rt△BCH≌Rt△BQH（HL），

∴CH=QH，

∴AP+HC=PH．

（3）解：∵AP=2，

∴PD=AD-AP=8-2=6，

设AE=x，则EP=8-x，

在Rt△AEP中，AE2+AP2=PE2，

即x2+22=（8-x）2，

解得：x=，

∵∠A=∠D=∠ABC=90°，

∴∠AEP+∠APE=90°，

由折叠的性质可得：∠EPG=∠ABC=90°，

∴∠APE+∠DPH=90°，

∴∠AEP=∠DPH，

∴△DPH∽△AEP，

∴，

∴，

解得：DH=．

∴PH=