Question

【题目】一次团体操排练活动中，

（1）如图，老师让大家站成一个形如正方形的点阵，第一层每边有三个点，第二层每边有五个点，第三层每边有七个点，依此类推，则第四层的总点数是　 　；第n层（n为正整数）的总点数是　 　；

（2）某班45名学生面向老师站成一列横队．老师每次让其中任意6名学生向后转（不论原来方向如何），能否经过若干次后全体学生都背向老师站立？如果能够，请你设计一种方案；如果不能够，请联系有理数乘法的知识说明理由．

Answer 1

【答案】（1）32；8n；（2）不能够，理由见解析

【解析】

（1）观察图形的变化发现规律即可得结论；

（2）根据具体问题，在一定假设条件下找出解决问题的数学框架，求出模型的解，并对它进行验证的全过程，即为建模思想．

解：（1）观察图形的变化可知：

第1层的总点数是8；

第2层的总点数是2×5+2×3＝16；

第3层的总点数是2×7+2×5＝24；

第4层的总点数是4×8＝32；

…

发现规律：

第n层的总点数是8n；

故答案为32、8n．

（2）不能够，理由如下：

假设面向老师站立记为“+1”，则背向老师站立为“﹣1”．

原来45个“+1”，乘积为“+1”，每次改变其中的6个数，

即每次运算乘以6个“﹣1”，即乘以了“+1”，

不改变这45个数的乘积的符号，始终是“+1”，

而最后要达到的目标是45个“﹣1”，

乘积为“﹣1”，故这是不可能的．