Question

【题目】如图，已知等边△ABC中，D为边AC上一点．

（1）以BD为边作等边△BDE，连接CE，求证：AD=CE；

（2）如果以BD为斜边作Rt△BDE，且∠BDE=30°，连接CE并延长，与AB的延长线交于F点，求证：AD=BF；

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.

【解析】试题分析：（1）欲证明AD=CE，只要证明△ABD≌△CBE即可；

（2）如图2中，倍长BE到H，连CH，DH．首先证明△DBH是等边三角形，由（1）可知，△ABD≌△CBH，推出AD=CH，∠A=∠HCB=∠ABC=60°，推出BF∥CH，推出∠F=∠ECH，再证明△EBF≌△EHC，推出BF=CH，由此即可证明．

（1）证明：如图1中，

∵△ABC，△BDE都是等边三角形，

∴AB=BC，BD=BE，∠ABC=∠DBE=60°，

∴∠ABD=∠CBE，

在△ABD和△CBE中， ，

∴△ABD≌△CBE，

∴AD=CE．

（2）如图2中，倍长BE到H，连CH，DH．

∵BE=EH，DE⊥BH，

∴DB=DH，∠BDE=∠HDE=30°，

∴∠BDH=60°，

∴△DBH是等边三角形，

由（1）可知，△ABD≌△CBH，

∴AD=CH，∠A=∠HCB=∠ABC=60°，

∴BF∥CH，

∴∠F=∠ECH，

在△EBF和△EHC中， ，

∴△EBF≌△EHC，

∴BF=CH，

∴AD=CE．