Question

【题目】动手操作：

（1）如图1，将一块直角三角板DEF放置在直角三角板ABC上，使三角板DEF的两条直角边DE、DF分别经过点B、C，且BC∥EF，已知∠A=30°，则∠ABD+∠ACD= 度；

（2）如图2，∠BDC与∠A、∠B、∠C之间存在着什么关系，并说明理由；

（3）灵活应用：请你直接利用以上结论，解决以下列问题：如图3，BE平分∠ABD，CE平分∠ACD，若∠BAC=40°，∠BDC=120°，求∠BEC的度数。

Answer 1

【答案】（1）60°；（2）猜想：∠A+∠B+∠C=∠BDC ，证明见解析；（3）∠BEC=80°；

【解析】试题分析：（1）在△BDC中，由三角形内角和定理可得∠DBC+∠DCB=90°，再由∠ABC+∠ACB=150°，从而可得；

（2）连接BC，利用三角形内角和定理推导即可得；

（3）由（2）可知∠A+∠ABD+∠ACD=∠BDC，∠A+∠ABE+∠ACE=∠BEC，再根据角平分线的定义即可得.

试题解析：（1）60°；

（2）猜想：∠A+∠B+∠C=∠BDC ；

证明如下：连接BC，

在△DBC中，∵∠DBC+∠DCB+∠D=180°，

∴∠DBC+∠DCB=180°﹣∠BDC；

在Rt△ABC中，

∵∠ABC+∠ACB+∠A=180°，

即∠ABD+∠DBC+∠DCB+∠ACD+∠A=180°，

而∠DBC+∠DCB=180°﹣∠BDC，

∴∠A+∠ABD+∠ACD=180°﹣（180°﹣∠BDC）=∠BDC，

即：∠A+∠B+∠C=∠BDC．

（3）灵活应用：

由（2）可知∠A+∠ABD+∠ACD=∠BDC，∠A+∠ABE+∠ACE=∠BEC，

∵∠BAC=40°，∠BDC=120°，

∴∠ABD+∠ACD=120°﹣40°=80°

∵BE平分∠ABD，CE平分∠ACB，

∴∠ABE+∠ACE=40°，

∴∠BEC=40°+40°=80°；