Question

【题目】如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，CO⊥AB于点O，点D、E分别在边AC、BC上，且AD=CE，连结DE交CO于点P，给出以下结论：
①△DOE是等腰直角三角形；②∠CDE=∠COE；③若AC=1，则四边形CEOD的面积为 ；④AD2+BE2﹣2OP2=2DPPE，其中所有正确结论的序号是

Answer 1

【答案】①②③④
【解析】解：①正确．如图，∵∠ACB=90°，AC=BC，CO⊥AB
∴AO=OB=OC，∠A=∠B=∠ACO=∠BCO=45°，
在△ADO和△CEO中，
，
∴△ADO≌△CEO，
∴DO=OE，∠AOD=∠COE，
∴∠AOC=∠DOE=90°，
∴△DOE是等腰直角三角形．故①正确．
②正确．∵∠DCE+∠DOE=180°，
∴D、C、E、O四点共圆，
∴∠CDE=∠COE，故②正确．
③正确．∵AC=BC=1，
∴S△ABC= ×1×1= ，S四边形DCEO=S△DOC+S△CEO=S△CDO+S△ADO=S△AOC= S△ABC= ，
故③正确．
④正确．∵D、C、E、O四点共圆，
∴OPPC=DPPE，
∴2OP2+2DPPE=2OP2+2OPPC=2OP（OP+PC）=2OPOC，
∵∠OEP=∠DCO=∠OCE=45°，∠POE=∠COE，
∴△OPE∽△OEC，
∴ = ，
∴OPOC=OE2 ，
∴2OP2+2DPPE=2OE2=DE2=CD2+CE2 ，
∵CD=BE，CE=AD，
∴AD2+BE2=2OP2+2DPPE，
∴AD2+BE2﹣2OP2=2DPPE．
故④正确．

①正确．由ADO≌△CEO，推出DO=OE，∠AOD=∠COE，由此即可判断．
②正确．由D、C、E、O四点共圆，即可证明．
③正确．由S△ABC= ×1×1= ，S四边形DCEO=S△DOC+S△CEO=S△CDO+S△ADO=S△AOC= S△ABC即可解决问题．④正确．由D、C、E、O四点共圆，得OPPC=DPPE，所以2OP2+2DPPE=2OP2+2OPPC=2OP（OP+PC）=2OPOC，由△OPE∽△OEC，得到 = ，即可得到2OP2+2DPPE=2OE2=DE2=CD2+CE2 ， 由此即可证明．本题考查勾股定理、四点共圆、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，学会利用四点共圆解决问题，题目比较难，用到的知识点比较多．