Question

【题目】如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC=5，AD=1，BC=9，点P为边BC上一动点，作PH⊥DC，垂足H在边DC上，以点P为圆心PH为半径画圆，交射线PB于点E.

（1）当圆P过点A时，求圆P的半径；

（2）分别联结EH和EA，当△ABE∽△CEH时，以点B为圆心，r为半径的圆B与圆P相交，试求圆B的半径r的取值范围；

（3）将劣弧沿直线EH翻折交BC于点F，试通过计算说明线段EH和EF的比值为定值，并求出此定值.

Answer 1

【答案】（1）圆P的半径长为3；（2）；（3）说明见解析，.

【解析】分析：

（1）如下图，作AM⊥BC于M，联结AP，由题意易得AM=3，BM=4，tanB=tanC=，设PH=3k，则可得HC=4k，CP=5k，MP=5-5k，在Rt△APM中，由勾股定理可得，结合AP=PH即可列出关于k的方程，解方程即可求得k的值，再结合CP<BC检验即可得到所求答案；

（2）由（1）可知，若设PH=3k，则HC=4k，CP=5k，由点E在圆P上可得PE=3k，CE=8k，BE=9-8k，由△ABE∽△CEH可得 ，由此可得：，解得k的值即可求得圆P的半径和BE的长，结合圆B和圆P的位置关系是相交，即可求得圆B的半径r的取值范围；

（3）在圆P上取点F关于EH对称的点G，联结EG，作PQ⊥EG于G，HN⊥BC于N，

则EG=EF，∠1=∠3，EQ=QG，EF=EG=2EQ. 结合已知条件先证△EPQ≌△PHN可得EQ=PN，从而可得EF=EG=2PN，由（1）可知，在Rt△PHC中，若设PH=3k，则HC=4k，PC=5k，由此可得sinC=，cosC=，在Rt△CHN中由此可把HN、NC用含k的式子表达出来，进一步可把PN、EN用含k的式子表达出来，这样就可把EH和EF用含k的代数式表达出来，由此即可求得EH和EF的比值，得到相应的结论.

详解：

（1）作AM⊥BC于M，联结AP，

∵梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC=5，AD=1，BC=9，

∴BM=(BC-AD)÷2=4，AM=，

∴tanB= tanC=，

∵PH⊥DC，

∴若设PH=3k，则HC=4k，CP=5k.

∵BC=9，

∴MP=5-5k.

∴，

∵AP=PH，

∴，即，

解得：，

当时，CP=，

∴（舍去），

∴，

∴圆P的半径长为3；

（2）由（1）可知，若设PH=3k，则HC=4k，CP=5k.

∵点E在圆P上，

∴PE=3k，CE=8k，

∴BE=9-8k，

∵△ABE∽△CEH，

∴，即，

解得：，

∴，即圆P的半径为，

∵圆B与圆P相交，又BE=9-8k=，

∴；

（3）在圆P上取点F关于EH对称的点G，联结EG，作PQ⊥EG于G，HN⊥BC于N，

则EG=EF，∠1=∠3，EQ=QG，EF=EG=2EQ.

∴∠GEP=2∠1，

∵PE=PH，

∴∠1=∠2 ，

∴∠4=∠1+∠2=2∠1，

∴∠GEP=∠4，

∴△EPQ≌△PHN，

∴EQ=PN，

由（1）可知，若设PH=3k，则HC=4k，PC=5k，

∴sinC=，cosC=，

∴NC=，NH=，

∴PN=，

∴EF=EG=2EQ=2PN=，EH=，

∴，即线段EH和EF的比值为定值.