Question

【题目】如图，在正方形ABCD中，点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点，CE、DF交于点G,连接AG、HG。下列结论：①CE⊥DF；②AG=DG;③∠CHG=∠DAG。其中，正确的结论有（ ）

A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个

Answer 1

【答案】C

【解析】

连接AH，由四边形ABCD是正方形与点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点，容易证得△BCE≌△CDF与△ADH≌△DCF，根据全等三角形的性质，容易证得CE⊥DF与AH⊥DF，故①正确；根据垂直平分线的性质，即可证得AG=AD，继而AG=DC，而DG≠DC，所以AG≠DG，故②错误；由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得HG=DC，∠CHG=2∠GDC，根据等腰三角形的性质，即可得∠DAG=2∠DAH=2∠GDC．所以∠DAG=∠CHG，④正确，则问题得解．

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC=CD=AD,∠B=∠BCD=90°，

∵点E. F. H分别是AB、BC、CD的中点，

∴BE=FC

∴△BCE≌△CDF，

∴∠ECB=∠CDF，

∵∠BCE+∠ECD=90°，

∴∠ECD+∠CDF=90°，

∴∠CGD=90°，

∴CE⊥DF，故①正确；

连接AH，

同理可得：AH⊥DF，

∵CE⊥DF，

∴△CGD为直角三角形，

∴HG=HD=CD，

∴DK=GK，

∴AH垂直平分DG，

∴AG=AD=DC，
在Rt△CGD中，DG≠DC，

∴AG≠DG，故②错误；

∵AG=AD, AH垂直平分DG

∴∠DAG=2∠DAH,

根据①，同理可证△ADH≌△DCF

∴∠DAH=∠CDF，

∴∠DAG=2∠CDF,

∵GH=DH，

∴∠HDG=∠HGD，

∴∠GHC=∠HDG+∠HGD=2∠CDF，

∴∠GHC=∠DAG，故③正确，

所以①和③正确选择C.