Question

【题目】（1）如图①，在等边△ABC中，点M是BC边上的任意一点（不含端点B，C），连结AM，以AM为边作等边△AMN，连结CN．求证：∠ACN=∠ABC．

【类比探究】

（2）如图②，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，（1）中结论∠ACN=∠ABC还成立吗？请说明理由．

【拓展延伸】

（3）如图③，在等腰△ABC中，BA=BC，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN=∠ABC．连结CN．试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）答案见解析；（2）∠ACN=∠ABC还成立；（3）∠ABC=∠ACN．

【解析】试题分析：（1）利用SAS可证明△BAM≌△CAN，继而得出结论；

（2）也可以通过证明△BAM≌△CAN，得出结论，和（1）的思路完全一样．

（3）首先得出∠BAC=∠MAN，从而判定△ABC∽△AMN，得到，根据∠BAM=∠BAC﹣∠MAC，∠CAN=∠MAN﹣∠MAC，得到∠BAM=∠CAN，从而判定△BAM∽△CAN，即可得出结论．

试题解析：解：（1）∵△ABC、△AMN是等边三角形，∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，∴∠BAM=∠CAN，在△BAM和△CAN中，∵AB=AC，∠BAM=∠CAN，AM=AN，∴△BAM≌△CAN（SAS），∴∠ABC=∠ACN．

（2）结论∠ABC=∠ACN仍成立；

理由如下：∵△ABC、△AMN是等边三角形，∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，∴∠BAM=∠CAN，在△BAM和△CAN中，∵AB=AC，∠BAM=∠CAN，AM=AN，∴△BAM≌△CAN（SAS），∴∠ABC=∠ACN．

（3）∠ABC=∠ACN；

理由如下：∵BA=BC，MA=MN，顶角∠ABC=∠AMN，∴底角∠BAC=∠MAN，∴△ABC∽△AMN，∴ ，又∵∠BAM=∠BAC﹣∠MAC，∠CAN=∠MAN﹣∠MAC，∴∠BAM=∠CAN，∴△BAM∽△CAN，∴∠ABC=∠ACN．