Question

【题目】如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．

（1）证明不论E、F在BC．CD上如何滑动，总有BE=CF；

（2）当点E、F在BC．CD上滑动时，分别探讨四边形AECF的面积和△CEF的周长是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最小值．

Answer 1

【答案】（1）证明过程见解析；（2）4+2

【解析】

试题分析：（1）连接AC，根据菱形的性质以及∠BAD=120°得出∠BAE=∠FAC以及△ABC和△ACD为正三角形，从而得出△ABE和△ACF全等，从而得出答案；（2）根据三角形全等得出△ABE的面积=△ACF的面积，从而得出四边形AECF的面积=△ABC的面积，从而求出△ABC的面积得出四边形的面积，根据垂线段最短得出当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短，从而求出最小值．

试题解析：（1）如图，连接AC∵四边形ABCD为菱形，∠BAD=120°，

∠BAE+∠EAC=60°，∠FAC+∠EAC=60°，∴∠BAE=∠FAC

∵∠BAD=120°，∴∠ABC=60°．∴△ABC和△ACD为等边三角形

∴∠ACF=60°，AC=AB ∴∠ABE=∠AFC ∴在△ABE和△ACF中，∵∠BAE=∠FAC，AB=AC，∠ABE=∠AFC，∴△ABE≌△ACF（ASA） ∴BE=CF

（2）四边形AECF的面积不变，△CEF的周长发生变化．理由如下：

由（1）得△ABE≌△ACF，则．∴，是定值

作AH⊥BC于H点，则BH=2，

．

△CEF的周长=CE+CF+EF=CE+BE+EF=BC+EF=BC+AE

由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短．

故△AEF的周长会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，△CEF的周长会最小=4+，