Question

【题目】如图1，P为∠MON平分线OC上一点，以P为顶点的∠APB两边分别与射线OM和ON交于A、B两点，如果∠APB在绕点P旋转时始终满足OAOB=OP2 ， 我们就把∠APB叫做∠MON的关联角．

（1）如图2，P为∠MON平分线OC上一点，过P作PB⊥ON于B，AP⊥OC于P，那么∠APB________∠MON的关联角（填“是”或“不是”）．

（2）①如图3，如果∠MON=60°，OP=2，∠APB是∠MON的关联角，连接AB，求△AOB的面积和∠APB的度数；

②如果∠MON=α°（0°＜α°＜90°），OP=m，∠APB是∠MON的关联角，直接用含有α和m的代数式表示△AOB的面积．

（3）如图4，点C是函数y=（x＞0）图象上一个动点，过点C的直线CD分别交x轴和y轴于A，B两点，且满足BC=2CA，直接写出∠AOB的关联角∠APB的顶点P的坐标．

Answer 1

【答案】是

【解析】试题分析：（1）先判断出△OBP∽△OPA，即可；

（2）先根据关联角求出OA×OB=4，再利用三角形的面积公式，以及相似，得到∠OAP=∠OPB，即可；

（3）根据条件分情况讨论，点B在y轴正半轴和负半轴，在负半轴时，经过计算，不存在，②在正半轴时，由BC=2AC判断出点C是线段AB的一个三等分点，即可．

试题解析：（1）∵P为∠MON平分线OC上一点，

∴∠BOP=∠AOP，

∵PB⊥ON于B，AP⊥OC于P，

∴∠OBP=∠OPA，

∴△OBP∽△OPA，

∴，

∴OP2=OA×OB，

∴∠APB是∠MON的关联角．

故答案为是．

（2）①如图，过点A作AH⊥OB，

∵∠APB是∠MON的关联角，OP=2，

∴OA×OB=OP2=4，

在Rt△AOH中，∠AOH=90°，

∴sin∠AOH=，

∴AH=OAsin∠AOH，

∴S△AOB=OB×AH=OB×OA×sin60°=×OP2×=，

∵OP2=OA×OB，

∴，

∵点P为∠MON的平分线上一点，

∴∠AOP=∠BOP=∠MON=30°，

∴△AOP∽△POB，

∴∠OAP=∠OPB，

∴∠APB=∠OPB+∠OPA=∠OAP+∠OPA=180°-30°=150°，

②由①有，S△AOB=OB×OA×∠MON=m2×sinα；

（3）∵过点C的直线CD分别交x轴和y轴于A，B两点，且满足BC=2CA，

∴只有点A在x轴正半轴，

①当点B在y轴负半轴时，点A只能在x轴正半轴．即：点P只能在第四象限，

设A（m，0），B（0，n）（m＞0，n＜0）

∴OA=m，OB=-n，

∵BC=2CA，

∴点A是BC中点，

∴点C（2m，-n），

∵点C在双曲线y=上，

∴2m×（-n）=2，

∴mn=-1，

∵∠AOB的关联角∠APB

∴OP2=OA×OB=|m||n|=1span>，

∴OP=1，

∵点P在∠AOB的平分线上，设P（a，-a）（a＞0），

∴OP2=2a2，

∴2a2=1，

∴a=或a=-（舍），

∴点P（，-）

②当点B在y轴正半轴，由于BC=2CA，所以，点A只能在x轴正半轴上，

设A（m，0），B（0，n）（m＞0，n＞0）

∴点C（， ），

∴×=2，

∴mn=9，

∵∠AOB的关联角∠APB

∴OP2=OA×0B=mn=9，

∴OP=3，

∵点P在∠AOB的平分线上，即：点P在第一象限，设P（a，a），（a＞0）

∴OP2=2a2，

∴2a2=9，

∴a=或a=-（舍）

即：点P（， ），

综上所述，点P的坐标为：（，-）或（， ）．