Question

【题目】已知二次函数y=mx2+（3m+1）x+3．
（1）当m取何值时，此二次函数的图象与x轴有两个交点；
（2）当抛物线y=mx2+（3m+1）x+3与x轴两个交点的横坐标均为整数，且m为正整数时，求此抛物线的表达式．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意可知，△=b2﹣4ac=（3m+1）2﹣4m×3=（3m﹣1）2＞0，

解得：m≠ ，

∵二次函数的图象与x轴有两个交点，

∴m≠0，

∴当m≠ 且m≠0时，此二次函数的图象与x轴有两个交点

（2）解：有求根公式，得：x= = ，

∴x1=﹣3，x2=﹣ ，

∵抛物线与x轴两个交点的横坐标均为整数，且m为正整数，

∴m=1，

∴抛物线的解析式为：y=x2+4x+3

【解析】（1）根据一元二次方程的根的判别式，直接计算即可；（2）根据求根公式，求出两根，由抛物线与x轴的两个交点的横坐标都为正整数，求出m的值，可得抛物线解析式．
【考点精析】本题主要考查了抛物线与坐标轴的交点的相关知识点，需要掌握一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点．当b2-4ac>0时，图像与x轴有两个交点；当b2-4ac=0时，图像与x轴有一个交点；当b2-4ac<0时，图像与x轴没有交点．才能正确解答此题．