Question

【题目】如图，△ABC和△ADC都是边长相等的等边三角形，点E、F同时分别从点B、A出发，各自沿BA、AD方向运动到点A、D停止，运动的速度相同，连接EC、FC．

（1）在点E、F运动过程中∠ECF的大小是否随之变化？请说明理由；

（2）在点E、F运动过程中，以点A、E、C、F为顶点的四边形的面积变化了吗？请说明理由；

（3）连接EF，在图中找出和∠ACE相等的所有角，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）∠ECF不变为60°．理由见解析；（2）不变化．理由见解析；（3）∠ACE=∠FCD=∠AFE．理由见解析.

【解析】

（1）根据SAS证明△BCE≌△ACF，得到∠ECB=∠FCA，从而证明结论；

（2）结合（1）中证明的全等三角形，即可发现以点A、E、C、F为顶点的四边形的面积即为△ABC的面积；

（3）根据等边三角形的判定可以证明△ECF是等边三角形，再进一步根据平角定义，得到∠AFE+∠DFC=120°，则∠AFE=∠FCD，从而求解．

解：（1）∠ECF不变为60°．

理由如下：

∵△ABC和△ADC都是边长相等的等边三角形，

∴BC=AC=CD，∠B=∠DAC=60°，

又∵E、F两点运动时间、速度相等，

∴BE=AF，

∴△BCE≌△ACF（SAS），

∴∠ECB=∠FCA．

所以∠ECF=∠FCA+∠ACE=∠ECB+∠ACE=∠BCA=60°；

（2）不变化．理由如下：

∵四边形AECF的面积=△AFC的面积+△AEC的面积，△BCE≌△ACF，

∴△AEC的面积+△BEC的面积=△ABC的面积；

（3）证明：由（1）知CE=CF，∠ECF=60°，

∴△CEF为等边三角形，

∵∠FCD+∠DFC=120°，∠AFE+∠DFC=120°，

∴∠ECF-∠ACF=∠ACD-∠ACF，即∠AFE=∠FCD，

所以∠ACE=∠FCD=∠AFE．