Question

【题目】如图，△ABC内接于⊙O，弦AD⊥BC,垂足为H，连接OB.

(1)如图1,求证:∠DAC=∠ABO;

(2)如图2,在弧AC上取点F,使∠CAF=∠BAD,在弧AB取点G，使AG∥OB，若∠BAC=600，

求证:GF=GD;

(3)如图3,在(2)的条件下,AF、BC的延长线相交于点E,若AF：FE=1:9，求sin∠ADG的值。

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）.

【解析】试题分析：（1）延长BO交⊙O于点Q，连接AQ．由圆周角定理可得：∠AQB=∠ACB，再由等角的余角相等即可得出结论；

（2）证明△DFG是等边三角形即可；

（3）延长GA，作FQ⊥AG，垂足为Q，作ON⊥AD，垂足为N，作OM⊥BC，垂足为M，延长AO交⊙O于点R，连接GR．作DP⊥AG，DK⊥AE，垂足为P、K．设AF=k，则FE=9k，AE=10k．在△AHE中， AH=5k．设NH=x，则AN=5k-x， AD=10k-2x．在△AQF中， AF=k，AQ=，FQ=k．由(2)知：△GDF是等边三角形，得到GD=GF=DF，进而得到AG=9k-2x．

OM=NH=x，BC=x， GF=BC=x．在△GQF中，GQ=AG+AQ=k-2x，QF=k，GF=x，由勾股定理解出，得到AG=9k-2x= ，AR=2OB=4OM=4x=7k．在△GAR中，由sin∠ADG=sin∠R即可得出结论．

试题解析：解：（1）证明：如图1，延长BO交⊙O于点Q，连接AQ．

∵BQ是⊙O直径，∴∠QAB=900．∵AD⊥BC，∴∠AHC=900．

∵弧AB=弧AB，∴∠AQB=∠ACB．

∵∠AQB+∠ABO=900，∠ACB+∠CAD=900

∴∠ABO=∠CAD

（2）证明：如图2，连接DF．

∵AG∥OB，∴∠ABO=∠BAG．∵∠ABO=∠CAD，∴∠CAD=∠BAG．

∵∠BAC=600，∴∠BAD+∠CAD=∠BAD+∠BAG=600，即∠GAD=∠BAC=60°．∵∠BAD=∠CAF．∴∠CAF+∠CAD=600，∴∠GAD=∠DAF=600，∴∠DGF=∠DAF=60°．

∵弧GD=弧GD，∴∠GAD=∠GFD=600，∴∠GFD=∠DGF=600，∴△DFG是等边三角形，∴GD=GF．

（3）如图3，

延长GA，作FQ⊥AG，垂足为Q，作ON⊥AD，垂足为N，作OM⊥BC，垂足为M，延长AO交⊙O于点R，连接GR．作DP⊥AG，DK⊥AE，垂足为P、K．

∵AF：FE=1：9，∴设AF=k，则FE=9k，AE=10k．在△AHE中，∠E=300，∴AH=5k．

设NH=x，则AN=5k-x．∵ON⊥AD，∴AD=2AN=10k-2x

又在△AQF中，∵∠GAF=1200，∴∠QAF=600，AF=k，∴AQ=，FQ=k．

由(2)知：△GDF是等边三角形，∴GD=GF=DF，

∵∠GAD=∠DAF=600，∴DP=DK，∴△GPD≌△FKD，△APD≌△AKD

∴FK=GP，AP=AK，∠ADK=300，∴AD=2AK=AP+AK=AF+AG

∴AG=10k-2x-k=9k-2x．

∵作OM⊥BC，ON⊥AD，∴OM=NH=x．∵∠BOD=∠BOC=∠BAC=600

∴BC=2BM=x．∵∠BOC=∠GOF，∴GF=BC=x

在△GQF中，GQ=AG+AQ=k-2x，QF=k，GF=x

∵

∴，

．

∴AG=9k-2x= ，AR=2OB=4OM=4x=7k，

在△GAR中，∠RGA=900，

∴sin∠ADG=sin∠R==．