Question

【题目】【回归课本】我们曾学习过一个基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．

【初步体验】

（1）如图1，在△ABC中，点D、F在AB上，E、G在AC上，DE∥FC∥BC．若AD=2，AE=1，DF=6，则EG= ， = ．

（2）如图2，在△ABC 中，点D、F在AB上，E、G在AC上，且DE∥BC∥FG．以AD、DF、FB为边构造△ADM（即AM=BF，MD=DF）；以AE、EG、GC为边构造△AEN（即AN=GC，NE=EG）．

求证：∠M=∠N．

【深入探究】

上述基本事实启发我们可以用“平行线分线段成比例”解决下列问题：

（3）如图3，已知△ABC和线段a，请用直尺与圆规作△A′B′C′．

满足：①△A′B′C′∽△ABC；②△A′B′C′的周长等于线段a的长度．（保留作图痕迹，并写出作图步骤）

Answer 1

【答案】（1）3、2；（2）证明见解析；（3）作图见解析．

【解析】试题分析：解决本题要用到了平行线分线段成比例、相似三角形的判定与性质、平行线的判定．

（1） 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；

（2）要证∠M=∠N，只需证△AMD∽△ANE，只需证，由于DF=DM，EG=EN，BF=AM，GC=AN，只需证，根据“两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”即可解决问题；

（3）借鉴图2，可进行以下操作：①延长BA到D，使得AD=AC，延长AB到E，使得BE=BC；②过点D画一条线段DF，使得DF=a，连接EF；③过点B作∠DBB′=∠DEF，交DF于点B′，过点A作∠DAA′=∠DEF，交DF于点A′，即可得到AA′∥BB′∥EF；④以点A′为圆心，A′D为半径画弧，以点B′为圆心，B′F为半径画弧，两弧交于点C′；⑤连接A′C′，B′C′，如图4，△A′B′C′即为所求作．

解：（1）如图1，

∵DE∥FG∥BC，

∴，

∴．

∵AD=2，AE=1，DF=6，

∴，

∴EG=3， =2．

故答案分别为：3、2；

（2）如图2，

∵DE∥FG∥BC，

∴，

∴．

∵DF=DM，EG=EN，BF=AM，GC=AN，

∴，

∴△AMD∽△ANE，

∴∠M=∠N；

（3）步骤：

①延长BA到D，使得AD=AC，延长AB到E，使得BE=BC；

②过点D画一条线段DF，使得DF=a，连接EF；

③过点B作∠DBB′=∠DEF，交DF于点B′，过点A作∠DAA′=∠DEF，交DF于点A′；

④以点A′为圆心，A′D为半径画弧，以点B′为圆心，B′F为半径画弧，两弧交于点C′；

⑤连接A′C′，B′C′，如图4，△A′B′C′即为所求作．