Question

【题目】如图，已知△ABC和△DCE均是等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，AE与BD交于点O，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F，连接OC、FG，则下列结论：①AE=BD；②AO=BF；③FG∥BE；④∠BOC=∠EOC；⑤BO=OC+AO，其中正确的结论有（ ）个．
A.5
B.4
C.3
D.2

Answer 1

【答案】B
【解析】解：①∵△ABC和△DCE均是等边三角形， ∴BC=AC，CD=CE，∠ACB=60°，∠DCE=60°，
∴∠BCD=180°﹣60°=∠ACE．
在△BCD和△ACE中， ，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴BD=AE，结论①成立；
②∵△BCD≌△ACE，
∴∠CBF=∠CAG．
∵∠ACB=60°，∠DCE=60°，
∴∠ACG=180°﹣∠ACB﹣∠DCE=60°．
在△BCF和△ACG中， ，
∴△BCF≌△ACG（ASA），
∴BF=AG，结论②不成立；
③∵△BCF≌△ACG，
∴CF=CG．
∵∠FCG=60°，
∴△CFG为等边三角形，
∴∠CFG=60°．
∵∠BCF=60，
∴∠BCF=∠CFG，
∴FG∥BE，结论③成立；
④过点C作CM⊥AE于点M，CN⊥BD于点N，如图所示．
∵△BCD≌△ACE，
∴∠CDN=∠CEM．
在△CDN和△CEM中， ，
∴△CDN≌△CEM（AAS），
∴CM=CN，
∴OC为∠BOE的角平分线，
∴∠BOC=∠EOC，结论④成立；
⑤在AE上寻找点P，连接CP使得CP=CO，如图2所示．
∵△CDN≌△CEM，
∴EM=DN，
∵BD=AE，BF=AG，
∴MG=NF．
在△CMG和△CNF中， ，
∴△CMG≌△CNF（SSS），
∴∠MCG=∠NCF，
∴∠MCN=∠GCF=60°，
∴∠MON=360°﹣∠MCN﹣90°﹣90°=120°．
∵∠BOC=∠EOC，
∴∠BOC=∠EOC= ∠MON=60°，
∴∠COD=180°﹣∠BOC=120°．
∵CP=CO，∠COP=60°，
∴△COP为等边三角形，
∴∠CPO=60°，OP=OC，
∴∠CPE=180°﹣∠CPO=120°=∠COD．
在△COD和△CPE中， ，
∴△COD≌△CPE（AAS），
∴OD=PE．
∴BO=BD﹣OD=AE﹣PE=AO+OP=AO+OC，结论⑤成立．
综上所述：正确的结论有①③④⑤．
故选B．


【考点精析】通过灵活运用等边三角形的性质，掌握等边三角形的三个角都相等并且每个角都是60°即可以解答此题．