Question

【题目】已知点C(0,-2)，直线l:y=kx-2k无论k取何值，直线总过定点B，

(1)求定点B的坐标.

(2)如图1，若点D为直线BC上（点(-1,-3)除外）一动点,过点D作x轴的垂线交y= - 3于点E，点F在直线BC上，距离D点为个单位，D点横坐标为t，ΔDEF的面积为S，求S与t函数关系式.

(3)若直线BC关于x轴对称后再向上平移5个单位得到直线B1C1，如图2，点G(1，a)和H(6,b)是直线B1C1上两点，点P(m,n)为第一象限内（G、H两点除外）的一点，,且mn=6，直线PG和PH为分别交y轴于点MN两点，问线段OM、ON有什么数量关系，请证明.

Answer 1

【答案】（1）定点B（2，0）；（2）SΔDEF=；（3）OM-ON=5，证明见解析.

【解析】

（1））由y=k（x-2），可得x=2时，y=0，可知定点B（2，0）；

（2）求出DE的长，分两种情形分别求解即可解决问题；

（3）根据一次函数求出点M、N的坐标即可解决问题．

（1）∵y=kx-2k=k(x-2)与k无关，

∴x-2=0，

∴x=2，y=0，

故定点B（2，0）；

（2）把（-1，-3）代入y=kx-2k，得到k=1，

∴直线BC的解析式为y=x-2，

∵OB=OC=2，

∴∠OBC=45°，

∵DE⊥x轴，

∴∠CDE=45°，

∵D（t，t-2），

∴DE=|t-2+3|=|t+1|，

①当t＜-1时，S=×DF×DE×sin45°=××（-t-1）=-t-，

②当t＞-1时，S=DFDEsin45°=t+．

综上，S=；

（3）结论：OM-ON=5．

理由：设直线PH 的解析式为y=kx+b，则有，

解得，

∴N（0，），

∴ON=，

∵mn=6，

∴ON==n+1，

同法可得OM=，

∵mn=6，

∴OM==n(1+m)=n+mn=n+6，

∴OM-ON=(n+6)-(n+1)=5．