Question

【题目】如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且∠CAB=2∠BCP．

（1）求证：直线CP是⊙O的切线；
（2）若BC=2 ，sin∠BCP= ，求⊙O的半径及△ACP的周长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接AN，

∵∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，

∵AC是⊙O的直径，∴AN⊥BC，

∴∠CAN=∠BAN，BN=CN，

∵∠CAB=2∠BCP，

∴∠CAN=∠BCP．

∵∠CAN+∠ACN=90°，

∴∠BCP+∠ACN=90°，

∴CP⊥AC

∵OC是⊙O的半径

∴CP是⊙O的切线

（2）解：∵∠ANC=90°，sin∠BCP= ，

∴ = ，

∴AC=5，

∴⊙O的半径为

如图，过点B作BD⊥AC于点D．

由（1）得BN=CN= BC= ，

在Rt△CAN中，AN= =2

在△CAN和△CBD中，

∠ANC=∠BDC=90°，∠ACN=∠BCD，

∴△CAN∽△CBD，

∴ = ，

∴BD=4．

在Rt△BCD中，CD= =2，

∴AD=AC﹣CD=5﹣2=3，

∵BD∥CP，

∴ = ， =

∴CP= ，BP=

∴△APC的周长是AC+PC+AP=20．

【解析】（1）由等角对等边得AB=AC，连接AN，由圆周角定理及等角三角形的三线合一得出∠CAN=∠BCP．根据直角三角形两锐角互余及等量代换得出∠BCP+∠ACN=90°，得出结论；（2）根据锐角三角函数的定义，找到圆的半径，在Rt△CAN中根据勾股定理得出AN，进而判断出△CAN∽△CBD，根据相似三角形对应边成比例得出BD的长度，在Rt△BCD中由勾股定理得出CD，再由平行线分线段成比例得出CP,BP的长度。
【考点精析】利用等腰三角形的性质和勾股定理的概念对题目进行判断即可得到答案，需要熟知等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）；直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2．