Question

【题目】如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BCD，AC⊥AB，E是BC的中点，AD⊥AE．

（1）求证：AC2=CDBC；
（2）过E作EG⊥AB，并延长EG至点K，使EK=EB．
①若点H是点D关于AC的对称点，点F为AC的中点，求证：FH⊥GH；
②若∠B=30°，求证：四边形AKEC是菱形．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：∵AC平分∠BCD，

∴∠DCA=∠ACB．

又∵AC⊥AB，AD⊥AE，

∴∠DAC+∠CAE=90°，∠CAE+∠EAB=90°，

∴∠DAC=∠EAB．

又∵E是BC的中点，

∴AE=BE，

∴∠EAB=∠ABC，

∴∠DAC=∠ABC，

∴△ACD∽△BCA，

∴ ，

∴AC2=CDBC；

（2）

证明：

①证明：连接AH．

∵∠ADC=∠BAC=90°，点H、D关于AC对称，

∴AH⊥BC．

∵EG⊥AB，AE=BE，

∴点G是AB的中点，

∴HG=AG，

∴∠GAH=GHA．

∵点F为AC的中点，

∴AF=FH，

∴∠HAF=∠FHA，

∴∠FHG=∠AHF+∠AHG=∠FAH+∠HAG=∠CAB=90°，

∴FH⊥GH；

②∵EK⊥AB，AC⊥AB，

∴EK∥AC，

又∵∠B=30°，

∴AC= BC=EB=EC．

又EK=EB，

∴EK=AC，即四边形AKEC是平行四边形。

∵EC=EB=EK

∴四边形AKEC是菱形．

【解析】（1）欲证明AC2=CDBC，只需推知△ACD∽△BCA即可；（2）①连接AH．构建直角△AHC，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰对等角以及等量代换得到：∠FHG=∠CAB=90°，即FH⊥GH；
②利用“在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半”、“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”推知四边形AKEC的四条边都相等，则四边形AKEC是菱形．本题考查了四边形综合题，需要熟练掌握相似三角形的判定与性质，“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”、“在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半”以及菱形的判定才能解答该题，难度较大．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用直角三角形斜边上的中线和相似三角形的判定与性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．