Question

【题目】如图，已知矩形ABCD，AD=4，CD=10，P是AB上一动点，M、N、E分别是PD、PC、CD的中点．
（1）求证：四边形PMEN是平行四边形；
（2）请直接写出当AP为何值时，四边形PMEN是菱形．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵M，E分别为PD，CD的中点，

∴ME∥PC，

同理可证：ME∥PD，

∴四边形PMEN为平行四边形

（2）解：当PA=5时，四边形PMEN为菱形．

理由：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A=∠B=90°，AD=BC，

∵AP=5，AB=CD=10，

∴AP=BP，

在△APD和△BPC中，

，

∴△APD≌△BPC（SAS），

∴PD=PC，

∵M、N、E分别是PD、PC、CD的中点，

∴EN=PM= PD，PN=EM= PC，

∴PM=EM=EN=PN，

∴四边形PMEN是菱形

【解析】（1）由M、N、E分别是PD、PC、CD的中点，根据三角形中位线的性质，可证得ME∥PC，EN∥PD，继而证得四边形PMEN是平行四边形；（2）由AP=BP=5，可证得△APD≌△BPC（SAS），继而可得PD=PC，则可得PM=EM=EN=PN，继而证得四边形PMEN是菱形．
【考点精析】通过灵活运用平行四边形的判定和菱形的判定方法，掌握两组对边分别平行的四边形是平行四边形：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；任意一个四边形，四边相等成菱形；四边形的对角线，垂直互分是菱形．已知平行四边形，邻边相等叫菱形；两对角线若垂直，顺理成章为菱形即可以解答此题．