Question

【题目】如图1，在矩形中，是的中点，以点为直角顶点的直角三角形的两边EF、EG分别过点B、C．

（1）求证：；

（2）将绕点按顺时针方向旋转，当旋转到与重合时停止转动，若分别与相交于点（如图2）．若，求面积的最大值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）△BMN面积的最大值为2．

【解析】

（1）由中点的定义可得AE=ED，根据矩形的性质可得AB=CD，∠BAE=∠CDE，利用SAS可证明△BAE≌△CDE，即可证明BE=CE；

（2）由（1）可知BE=CE，可得△BEC是等腰直角三角形，可得∠EBC=45°，根据矩形的性质可得∠ABE=45°，可证明△ABE是等腰直角三角形，可得AB=AE，由E为AD中点可得AD=2AB=4，根据矩形的性质可得BC的长，根据旋转的性质可得∠BEM=∠CEN，利用ASA可证明△BEM≌△CEN，可得BM=CN，设BM=x，则BN=4-x，根据三角形面积公式可得S△BMN=x(4-x)=-(x-2)2+2，利用平方的非负数性质即可得答案．

（1）∵点E为AD中点，

∴AE=DE，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AB=CD，∠A=∠D=90°，

在△BAE和△CDE中，，

∴△BAE≌△CDE，

∴BE=CE．

（2）∵BE=CE，∠BEC=90°，

∴△BEC是等腰直角三角形，

∴∠EBC=45°，

∴∠ABE=45°，

∴△ABE是等腰直角三角形，

∴AB=AE，

∵点E为AD中点，AB=2，

∴AD=BC=2AB=4，

∵将绕点按顺时针方向旋转，

∴∠BEM=∠CEN，

在△BEM和△CEN中，，

∴△BEM≌△CEN，

∴BM=CN，

设MB=x，则BN=BC-CN=4-x，

∴S△BMN=BN·BM=x(4-x)=-(x-2)2+2，

∵(x-2)2≥0，

∴-(x-2)2+2≤2，

∴△BMN面积的最大值为2．