Question

【题目】如图，梯形中，，于，的平分线交于点，以点为圆心， 为半径的圆经过点，交于另一点．

（1）求证：与相切；

（2）若，求的值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）tan∠ABC= ．

【解析】

试题分析：（1）过点O作OG⊥DC，垂足为G．先证明∠OAD=90°，从而得到∠OAD=∠OGD=90°，然后利用AAS可证明△ADO≌△GDO，则OA=OG=r，则DC是⊙O的切线；

（2）连接OF，依据垂径定理可知BE=EF=12，在Rt△OEF中，依据勾股定理可知求得OF=13，然后可得到AE的长，最后在Rt△ABE中，利用锐角三角函数的定义求解即可．

试题解析：（1）过点O作OG⊥DC，垂足为G．

∵AD∥BC，AE⊥BC于E，∴OA⊥AD．∴∠OAD=∠OGD=90°．

在△ADO和△GDO中 ，∴△ADO≌△GDO．∴OA=OG．∴DC是⊙O的切线．

（2）如图所示：连接OF．

∵OA⊥BC，∴BE=EF= BF=12．

在Rt△OEF中，OE=5，EF=12，∴OF= =13．∴AE=OA+OE=13+5=18．∴tan∠ABC= = ．