Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，AC=24cm，BC=7cm，P点在BC上，从B点到C点运动（不包括C点），点P运动的速度为2cm/s；Q点在AC上从C点运动到A点（不包括A点），速度为5cm/s．若点P、Q分别从B、C同时运动，且运动时间记为t秒，请解答下面的问题，并写出探索的主要过程．

（1）当t为何值时，P、Q两点的距离为5cm？

（2）当t为何值时，△PCQ的面积为15cm2？

（3）请用配方法说明，点P运动多少时间时，四边形BPQA的面积最小？最小面积是多少？

Answer 1

【答案】（1）t=1；（2）经过2或1.5s后，S△PCQ的面积为15cm2；（3）当点P运动1.75秒时，四边形BPQA的面积最小为： cm2．

【解析】(1)根据勾股定理PC2+CQ2=PQ2,便可求出经过1s后,P、Q两点的距离为 cm2;

(2)根据三角形的面积公式便可求出经过2或1.5s后,S△PCQ的面积为15 cm2;

(3)根据三角形的面积公式以及二次函数最值便可求出t=1.75s时△PCQ的面积最大,进而求出四边形BPQA的面积最小值.

解：（1）∵在Rt△ABC中，AC=24cm，BC=7cm，
∴AB=25cm，
设经过ts后，P、Q两点的距离为5cm，
ts后，PC=7-2t cm，CQ=5t cm，
根据勾股定理可知PC2+CQ2=PQ2，
代入数据（7-2t）2+（5t）2=（5）2；
解得t=1或t=-（不合题意舍去）；
（2）设经过ts后，S△PCQ的面积为15cm2
ts后，PC=7-2t cm，CQ=5t cm，
S△PCQ==×（7-2t）×5t=15
解得t1=2，t2=1.5，
经过2或1.5s后，S△PCQ的面积为15cm2
（3）设经过ts后，△PCQ的面积最大，则此时四边形BPQA的面积最小，
ts后，PC=7-2t cm，CQ=5t cm，
S△PCQ=×PC×CQ=×（7-2t）×5t=×（-2t2+7t）
当t=-时，即t==1.75s时，△PCQ的面积最大，
即S△PCQ=×PC×CQ=×（7-2×1.75）×5×1.752=（cm2），
∴四边形BPQA的面积最小值为：S△ABC-S△PCQ最大=×7×24-=（cm2），
当点P运动1.75秒时，四边形BPQA的面积最小为： cm2．