Question

【题目】（1）已知：如图，在△ABC中，BD⊥AC于D,CE⊥AB于E，M是BC的中点.求证：MD=ME.

（2）已知：如图，O是△ABC内任意一点，且满足∠1＝∠2，OD⊥AC于D, OE⊥AB于E，M是BC的中点。仿照第⑴问的思路，结合三角形中位线定理，平行四边形的性质与判定，求证：MD=ME.

Answer 1

【答案】（1）见详解；（2）见详解.

【解析】

（1）由BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，则△BCD，△BCE是直角三角形，由点M是BC中点，即可得到EM=DM=；

（2）分别取BO中点F、CO中点G，连接EF、FM、DG、GM，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到EF=BF=OF=OB，DG=OG=CG=OC，然后根据∠1=∠2，得到∠EFO=∠DGO；由三角形中位线定理，得到四边形OFMG是平行四边形，则∠OFM=∠OGM，从而得到∠EFM=∠DGM，利用SAS证明△EFM≌△MGD，即可得到结论成立.

证明：（1）如图，

∵BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，

∴△BCD，△BCE是直角三角形，

∵点M是BC中点，

∴ME，MD分别是直角三角形△BCE和△BCD的中线，

∴EM=DM=；

（2）如图，分别取BO中点F、CO中点G，连接EF、FM、DG、GM，

∵OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，

∴△OBE、△OCD是直角三角形，

∵点F为OB中点，点G为OC中点，

∴EF=BF=OF=OB，DG=OG=CG=OC，

∴∠1=∠BEF，∠2=∠CDG，

∴∠EFO=2∠1，∠DGO=2∠2，

∵∠1＝∠2，

∴∠EFO=∠DGO，

∵点M是BC的中点，

∴FM和GM都是△OBC的中位线，

∴FM=OC=OG=DG，GM=OB=OF=EF，

∴四边形OFMG是平行四边形，

∴∠OFM=∠OGM，

∴∠EFO+∠OFM=∠DGO+∠OGM，

即∠EFM=∠DGM，

∵FM=DG，EF=MG，

∴△EFM≌△MGD（SAS），

∴EM=MD.