Question

【题目】如图，直线y=kx＋4(k≠0)与x轴、y轴分别交于点B，A，直线y=－2x＋1与y轴交于点C，与直线y=kx＋4交于点D，△ACD的面积是.

（1）求直线AB的表达式；

（2）设点E在直线AB上，当△ACE是直角三角形时，求出点E的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y=x+4；（2）点E的坐标为（3，1）或（，）.

【解析】

（1）将x=0分别代入两个一次函数表达式中求出点A、C的坐标，进而即可得出AC的长度，再根据三角形的面积公式结合△ACD的面积即可求出点D的横坐标，利用一次函数图象上点的坐标特即可求出点D的坐标，由点D的坐标利用待定系数法即可求出直线AB的表达式；

（2）由直线AB的表达式即可得出△ACE为等腰直角三角形，分∠ACE=90°和∠AEC=90°两种情况考虑，根据点A、C的坐标利用等腰直角三角形的性质即可得出点E的坐标，此题得解．

解：（1）当x=0时，y=kx+4=4，y=-2x+1=1，

∴A（0，4），C（0，1），

∴AC=3．

∵S△ACD=，

∴，

∵点D在第二象限，

点D的横坐标为．

当x=时，y=2x+1=3，

∴D（1，3）．

将D（1，3）代入y=kx+4，

k+4=3，解得：k=1．

∴直线AB的表达式为：y=x+4．

（2）∵直线AB的表达式为y=x+4，

∴△ACE为等腰直角三角形．

当∠ACE=90°时，∵A（0，4），C（0，1），AC=3，

∴E1（3，1）；

当∠AEC=90°时，∵A（0，4），C（0，1），AC=3，

∴E2（，）．

综上所述：当△ACE是直角三角形时，点E的坐标为（3，1）或（，）．