Question

【题目】已知正方形，点为边的中点.

（1）如图1，点为线段上的一点，且，延长，分别与边，交于点，.

①求证：；

②求证：.

（2）如图2，在边上取一点，满足，连接交于点，连接延长交于点，求的值.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）

【解析】

试题分析：(1)①利用ASA判定证明两个三角形全等；②先利用相似三角形的判定，再利用相似三角形的性质证明；（2）构造直角三角形，求一个角的正切值.

试题解析：(1)①证明：∵四边形为正方形，∴，，

又，∴，又，∴，

∴(ASA)，∴.

②证明：∵，点为中点，∴，∴，

又∵，从而，又，∴，

∴，即，由，得.

由①知，，∴，∴.

(2)解：(方法一)

延长，交于点(如图1)，由于四边形是正方形，所以，

∴，又，∴，

故，即，

∵，，∴，由知，，

又，∴，不妨假设正方形边长为1，

设，则由，得，

解得，(舍去)，∴，

于是,

(方法二)

不妨假设正方形边长为1，设，则由，得，

解得，(舍去)，即，

作交于(如图2)，则，∴，

设，则，，∵，即，

解得，∴，从而，此时点在以为直径的圆上，

∴是直角三角形，且，

由(1)知，于是.