Question

【题目】如图，抛物线y=x2+4x+3交x轴于A、B两点，（A在B左侧），交y轴于点C．

（1）求A、B、C三点的坐标．
（2）求抛物线的对称轴及顶点坐标．
（3）抛物线上是否存在点F，使△ABF的面积为1？若存在，求F点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵抛物线y=x2+4x+3交x轴于A、B两点，

∴令y=0，则x2+4x+3=0，

解得x1=﹣3、x2=﹣1，即点A（﹣3，0），B（﹣1，0），

令x=0，则y=3，

∴C（0，3）

（2）解：对称轴： = =﹣2；

顶点坐标：x= =﹣2，y= = =﹣1；

顶点坐标为（﹣2，﹣1）

（3）解：∵A（﹣3，0），B（﹣1，0），

∴AB=2，

设F点坐标为（m，m2+4m+3），

则S△ABF= ×|m2+4m+3|=1，

∴|m2+4m+3|=1，

∴m2+4m+3=1或m2+4m+3=﹣1，

解得：m=﹣2+ 或m=﹣2﹣ 或m=﹣2，

∴点满足要求的点F的坐标为：（﹣2+ ，1）、（﹣2﹣ ，1）、（﹣2，﹣1）

【解析】（1）根据x2+4x+3=0，解得x1=﹣3、x2=﹣1，即点A（﹣3，0），B（﹣1，0），根据抛物线y=x2+4x+3交y轴于点C，可知当x=0时，y=3，所以C（0，3）；（2）根据二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为x=﹣ ，顶点坐标为（ ， ），求得抛物线的对称轴和顶点坐标；（3）设出F点的横坐标，纵坐标用横坐标表示，将三角形ABF的面积用F点的横坐标表示出来，等于1，建立方程，解之即可．
【考点精析】本题主要考查了抛物线与坐标轴的交点的相关知识点，需要掌握一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点．当b2-4ac>0时，图像与x轴有两个交点；当b2-4ac=0时，图像与x轴有一个交点；当b2-4ac<0时，图像与x轴没有交点．才能正确解答此题．