Question

【题目】在菱形ABCD中，P是AB上一动点(但不与A、B两点重合)，DP的延长线交CB延长线于点E．

(1)△APD与△BPE是否总相似，为什么？

(2)当P为AB中点时，求证：点B是EC中点．

(3)当PD⊥AB时，设AD＝10，sinA= ，求BE的长．

Answer 1

【答案】(1)相似．理由见解析；（2）证明见解析；（3）

【解析】试题分析：（1）由四边形ABCD为菱形，得到AD∥BC，即可得到结论；（2）先由角角边证得△APD≌△BPE，AD=BE，再由四边形ABCD为菱形， 得到AD=BC，即BE=BC，即点B为EC中点．（3）再Rt△APD中，由AD＝10，sinA=得PD=8，AP=6，故PB=4，由△APD∽△BPE可得＝，即可求得BE长.

试题解析：： (1)相似．

∵四边形ABCD为菱形，

∴AD∥BC．

∴∠DAP=∠EBP，∠ADP=∠BEP．

∴△APD△BPE．

(2)∵P是AB中点，

∴AP=BP．

又∵∠DAP=∠EBP，∠ADP=∠BEP，

∴△APD≌△BPE.

∴AD=BE.

∵四边形ABCD为菱形，

∴AD=BC．

∴BE=BC．

即点B为EC中点．

(3)∵PD⊥AB，AD＝10，sinA=. ∴PD=8．∴AP=6．∴PB=AB—AP=10—6=4．

∵△APD∽△BPE，∴ ＝ ∴BE＝＝＝