Question

【题目】如图，在ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E为AB中点，点F在CB的延长线上，且EF∥BD．
（1）求证；四边形OBFE是平行四边形；
（2）当线段AD和BD之间满足什么条件时，四边形OBFE是矩形？并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴点O是AC的中点．

又∵点E是边AB的中点，

∴OE是△ABC的中位线，

∴OE∥BC，

又∵点F在CB的延长线上，

∴OE∥BF．

∵EF∥BD，即EF∥OB，

∴四边形OBFE是平行四边形

（2）当AD⊥BD时，四边形OBFE是矩形．

理由：由（1）可知四边形OBFE是平行四边形，

又∵AD⊥BD，AD∥BC，且点F在BC的延长线上，

∴FC⊥BD，

∴∠OBF=90°，

∴四边形OBFE是矩形

【解析】（1）首先证明OE是△ABC的中位线，推出OE∥BC，由EF∥OB，推荐可提出四边形OBFE是平行四边形．（2）当AD⊥BD时，四边形OBFE是矩形． 只要证明∠EOB=90°即可解决问题．