Question

【题目】在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为2的正方形ABCD与边长为2的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一直线上，AB与AG在同一直线上．

（1）小明发现DG⊥BE，请你帮他说明理由．

（2）如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请你帮他求出此时BE的长．

（3）如图3，小明将正方形ABCD绕点A继续逆时针旋转，线段DG与线段BE将相交，交点为H，写出△GHE与△BHD面积之和的最大值，并简要说明理由．

Answer 1

【答案】（1）理由见解析；（2）；（3）6，理由见解析．

【解析】

试题分析：（1）由四边形ABCD与四边形AEFG为正方形，利用正方形的性质得到两对边相等，且夹角相等，利用SAS得到三角形ADG与三角形ABE全等，利用全等三角形对应角相等得∠AGD=∠AEB，如图1所示，延长EB交DG于点H，利用等角的余角相等得到∠DHE=90°，利用垂直的定义即可得DG⊥BE；

（2）由四边形ABCD与四边形AEFG为正方形，利用正方形的性质得到两对边相等，且夹角相等，利用SAS得到三角形ADG与三角形ABE全等，利用全等三角形对应边相等得到DG=BE，如图2，过点A作AM⊥DG交DG于点M，∠AMD=∠AMG=90°，在直角三角形AMD中，求出AM的长，即为DM的长，根据勾股定理求出GM的长，进而确定出DG的长，即为BE的长；

（3）△GHE和△BHD面积之和的最大值为6，理由为：对于△EGH，点H在以EG为直径的圆上，即当点H与点A重合时，△EGH的高最大；对于△BDH，点H在以BD为直径的圆上，即当点H与点A重合时，△BDH的高最大，即可确定出面积的最大值．

试题解析：（1）∵四边形ABCD和四边形AEFG都为正方形，

∴AD=AB，∠DAG=∠BAE=90°，AG=AE，

在△ADG和△ABE中，

，

∴△ADG≌△ABE（SAS），

∴∠AGD=∠AEB，

如图1所示，延长EB交DG于点H，

在△ADG中，∠AGD+∠ADG=90°，

∴∠AEB+∠ADG=90°，

在△EDH中，∠AEB+∠ADG+∠DHE=180°，

∴∠DHE=90°，

则DG⊥BE；

（2）∵四边形ABCD和四边形AEFG都为正方形，

∴AD=AB，∠DAB=∠GAE=90°，AG=AE，

∴∠DAB+∠BAG=∠GAE+∠BAG，即∠DAG=∠BAE，

在△ADG和△ABE中，

∴△ADG≌△ABE（SAS），

∴DG=BE，

如图2，过点A作AM⊥DG交DG于点M，∠AMD=∠AMG=90°，

∵BD为正方形ABCD的对角线，

∴∠MDA=45°，

在Rt△AMD中，∠MDA=45°，

∴cos45°=，

∵AD=2，

∴DM=AM=，

在Rt△AMG中，根据勾股定理得：GM=，

∵DG=DM+GM=，

∴BE=DG=；

（3）△GHE和△BHD面积之和的最大值为6，理由为：

对于△EGH，点H在以EG为直径的圆上，

∴当点H与点A重合时，△EGH的高最大；

对于△BDH，点H在以BD为直径的圆上，

∴当点H与点A重合时，△BDH的高最大，

则△GHE和△BHD面积之和的最大值为2+4=6．