Question

【题目】如图，已知抛物线y=x2+bx+c的顶点坐标为M（0，﹣1），与x轴交于A、B两点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）判断△MAB的形状，并说明理由；
（3）过原点的任意直线（不与y轴重合）交抛物线于C、D两点，连接MC，MD，试判断MC、MD是否垂直，并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵抛物线y=x2+bx+c的顶点坐标为M（0，﹣1），

∴ ，解得b=0，c=﹣1，

∴抛物线的解析式为：y=x2﹣1

（2）

解：△MAB是等腰直角三角形．

由抛物线的解析式为：y=x2﹣1可知A（﹣1，0），B（1，0），

∴OA=OB=OM=1，

∴∠AMO=∠MAO=∠BMO=∠MBO=45°，

∴∠AMB=∠AMO+∠BMO=90°，AM=BM，

∴△MAB是等腰直角三角形

（3）

解：MC⊥MD；

分别过C点，D点作y轴的平行线，交x轴于E、F，过M点作x轴的平行线交EC延长线于G，交DF于H，

设D（m，m2﹣1），C（n，n2﹣1），

∴OE=﹣n，CE=1﹣n2，OF=m，DF=m2﹣1，

∵OM=1，

∴CG=n2，DH=m2，

∵EG∥DH，

∴ ，

即 = ，

m（1﹣n2）=﹣n（m2﹣1），

m﹣mn2=﹣m2n+n，

（m2n﹣mn2）=﹣m+n，

mn（m﹣n）=﹣（m﹣n），

∴mn=﹣1

解得m=﹣ ，

∵ = =﹣n， = = =﹣n，

∴ = ，

∵∠CGM=∠MHD=90°，

∴△CGM∽△MHD，

∴∠CMG=∠MDH，

∵∠MDH+∠DMH=90°

∴∠CMG+∠DMH=90°，

∴∠CMD=90°，

即MC⊥MD．

【解析】（1）待定系数法即可解得．（2）由抛物线的解析式可知OA=OB=OM=1，得出∠AMO=∠MAO=∠BMO=∠MBO=45°从而得出△MAB是等腰直角三角形．（3）分别过C点，D点作y轴的平行线，交x轴于E、F，过M点作x轴的平行线交EC于G，交DF于H，设D（m，m2﹣1），C（n，n2﹣1），通过EG∥DH，得出 ，从而求得m、n的关系，根据m、n的关系，得出△CGM∽△MHD，利用对应角相等得出∠CMG+∠DMH=90°，即可求得结论．
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数的图象的相关知识，掌握二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点，以及对二次函数的性质的理解，了解增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．