Question

【题目】已知，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴的正半轴、y轴的正半轴上，且OA、OC（）的长是方程的两个根．

（1）如图，求点A的坐标；

（2）如图，将矩形OABC沿某条直线折叠，使点A与点C重合，折痕交CB于点D，交OA于点E．求直线DE的解析式；

（3）在（2）的条件下，点P在直线DE上，在直线AC上是否存在点Q，使以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请求出点Q坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（8，0）；（2）；（3）存在点或或，使以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形.

【解析】

（1）通过解一元二次方程可求出OA的长，结合点A在x轴正半轴可得出点A的坐标；

（2）连接CE，设OE=m，则AE=CE=8-m，在Rt△OCE中，利用勾股定理可求出m的值，进而可得出点E的坐标，同理可得出点D的坐标，根据点D，E的坐标，利用待定系数法可求出直线DE的解析式；

（3）根据点A，C的坐标，利用待定系数法可求出直线AC的解析式，设点P的坐标为（a，2a-6），点Q的坐标为（c，-c+4），分AB为边和AB为对角线两种情况考虑：①当AB为边时，利用平行四边形的性质可得出关于a，c的二元一次方程组，解之可得出c值，再将其代入点Q的坐标中即可得出结论；②当AB为对角线时，利用平行四边形的对角线互相平分，可得出关于a，c的二元一次方程组，解之可得出c值，再将其代入点Q的坐标中即可得出结论．综上，此题得解．

（1）解方程x2-12x+32=0，得：x1=4，x2=8．

∵OA、OC的长是方程x2-12x+32=0的两个根，且OA＞OC，点A在x轴正半轴上，

∴点A的坐标为（8，0）．

（2）连接CE，如图4所示．

由（1）可得：点C的坐标为（0，4），点B的坐标为（8，4）．

设OE=m，则AE=CE=8-m．

在Rt△OCE中，∠COE=90°，OC=4，OE=m，

∴CE2=OC2+OE2，即（8-m）2=42+m2，

解得：m=3，

∴OE=3，

∴点E的坐标为（3，0）．

同理，可求出BD=3，

∴点D的坐标为（5，4）．

设直线DE解析式为：

∴

∴直线DE解析式为：

（3）∵点A的坐标为（8，0），点C的坐标为（0，4），点B的坐标为（8，4），

∴直线AC的解析式为y=-x+4，AB=4．

设点P的坐标为（a，2a-6），点Q的坐标为（c，-c+4）．

分两种情况考虑，如图5所示：

①当AB为边时， ，

解得：c1=，c2=，

∴点Q1的坐标为（，），点Q2的坐标为（，）；

②当AB为对角线时，，

解得： ，

∴点Q3的坐标为（，- ）．

综上，存在点或或，使以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形