Question

【题目】已知关于x的方程（m+1）x2+2mx+（m﹣3）=0有实数根．

（1）求m的取值范围；

（2）m为何值时，方程有两个相等的实数根？并求出这两个实数根．

Answer 1

【答案】(1) 当m≥﹣ 时，方程（m+1）x2+2mx+（m﹣3）=0有实数根；(2) m=﹣, x1=x2=﹣3

【解析】

（1）根据题意，分原方程是一元一次方程和一元二次方程两种情况分析讨论即可；

（2）由题意可知，此时原方程是一元二次方程，根据一元二次方程根的判别式求出m的值，并将所得的m的值代入原方程，再解所得方程即可.

（1）关于x的方程（m+1）x2+2mx+（m﹣3）=0有实数根，分两种情况讨论如下：

①当m+1=0即m=﹣1时，原方程是一元一次方程，此时方程为﹣2x﹣4=0，必有实数根；

②当m+1≠0时，此时原方程是一元二次方程，

∵此时原方程有实数根，

∴△=b2﹣4ac=（2m）2﹣4×（m+1）×（m﹣3）=8m+12≥0，解得：m≥﹣且m≠﹣1；

综上可知，当m≥﹣ 时，方程（m+1）x2+2mx+（m﹣3）=0有实数根；

（2）∵关于x的方程（m﹣1）x2+（2m﹣1）x+m﹣2=0有两个相等的实数根，

∴△=b2﹣4ac=（2m）2﹣4×（m+1）×（m﹣3）=8m+12=0，

解得：m=﹣ ，

将m=﹣代入原方程可得：

﹣x2﹣3x﹣=0，

两边同时乘以﹣2得：x2+6x+9=0，解得x1=x2=﹣3．