Question

【题目】如图所示，△ABC为等边三角形，AQ＝PQ，PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，PR＝PS，有下列四个结论：①点P在∠BAC的平分线上；②AS＝AR；③QP∥AB；④△BRP≌△CSP.其中，正确的有__________(填序号即可)．

Answer 1

【答案】①②③④

【解析】

根据角平分线性质即可推出①，根据勾股定理即可推出AR=AS，根据等腰三角形性质推出∠QAP=∠QPA，推出∠QPA=∠BAP，根据平行线判定推出QP∥AB即可；根据HL推出△BRP≌△CSP即可．

∵PR⊥AB于点R，PS⊥AC，PR=PS，∴点P在∠A的平分线上，∴①正确；

∵点P在∠A的平分线上，∴∠QAP=∠BAP．

在Rt△ARP和Rt△ASP中，由勾股定理得：AR2=AP2﹣PR2，AS2=AP2﹣PS2．

∵AP=AP，PR=PS，∴AR=AS，∴②正确；

∵AQ=QP，∴∠QAP=∠QPA．

∵∠QAP=∠BAP，∴∠QPA=∠BAP，∴QP∥AB ，∴③正确；

∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠CAB=60°，AB=AC．

∵∠QAP=∠BAP，∴BP=CP．

∵PR⊥AB，PS⊥AC，∴∠BRP=∠PSQ=90°．

在Rt△BRP和Rt△CSP中，∵BP=CP，PR=PS，∴△BRP≌△CSP，∴④正确．

故选A．