Question

【题目】如图，在△ABC中，AC=BC，AB是⊙C的切线，切点为D，直线AC交⊙C于点E、F，且CF= AC．
（1）求∠ACB的度数；
（2）若AC=8，求△ABF的面积．

Answer 1

【答案】
（1）解：连接CD，

∵AB是⊙C的切线，

∴CD⊥AB，

∵CF= AC，CF=CE，

∴AE=CE，

∴ED= AC=EC，

∴ED=EC=CD，

∴∠ECD=60°，

∴∠A=30°，

∵AC=BC，

∴∠ACB=120°．

（2）解：在Rt△ACD中，∠A=30°，AC=8，

∴AD=4 ，CD=4，

∴AB=2AD=8 ．

作FM⊥AB交AB于M，

∵CD⊥AB，

∴△ACD∽△AFM，

∴ ，

即 ，

∴FM=6，

∴△ABF的面积= ×ABFM= ×8 ×6=24 ，

【解析】（1）连接DC，根据AB是⊙C的切线，所以CD⊥AB，根据CD= ，得出∠A=30°，因为AC=BC，从而求得∠ACB的度数．（2）解直角三角形求得AD，进而求得AB，作FM⊥AB交AB于M，证得△ACD∽△AFM，根据相似三角形的性质求得FM，即可求得三角形的面积．
【考点精析】通过灵活运用切线的性质定理，掌握切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径即可以解答此题．