Question

【题目】如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC，过点C作直线CD⊥AB于点D，E是AB上一点，直线CE与⊙O交于点F，连结AF，与直线CD交于点G．

求证：（1）∠ACD=∠F； （2）AC2=AG·AF．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【解析】试题分析：（1）本题可构建相等的中间角通过转换来求解，连接BC，根据圆周角定理得∠ABC=∠F，根据同角的余角相等得∠ACD=∠ABC，由此可得证．

（2）本题实际求的是三角形ACG和AFC相似，已知了一个公共角，而（1）中又证得了∠ACD=∠F，由此可得出两三角形相似，根据相似三角形即可得出所求的比例关系．

试题解析：证明：（1）连接BC，则∠ACB=90°，∠ABC=∠F．∵∠ACD+∠CAD=90°，∠CAD+∠ABC=90°，∴∠ACD=∠ABC，∴∠ACD=∠F．

（2）由（1）得出的∠ACD=∠F．又∵∠CAG=∠FAC，∴△ACG∽△AFC，∴ ，∴AC2=AGAF．