Question

【题目】如图，抛物线y1=x2﹣1交x轴的正半轴于点A，交y轴于点B，将此抛物线向右平移4个单位得抛物线y2 ， 两条抛物线相交于点C．

（1）请直接写出抛物线y2的解析式；
（2）若点P是x轴上一动点，且满足∠CPA=∠OBA，求出所有满足条件的P点坐标；
（3）在第四象限内抛物线y2上，是否存在点Q，使得△QOC中OC边上的高h有最大值？若存在，请求出点Q的坐标及h的最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：抛物线y1=x2﹣1向右平移4个单位的顶点坐标为（4，﹣1），

所以，抛物线y2的解析式为y2=（x﹣4）2﹣1

（2）

解：x=0时，y=﹣1，

y=0时，x2﹣1=0，解得x1=1，x2=﹣1，

所以，点A（1，0），B（0，﹣1），

∴∠OBA=45°，

联立 ，

解得 ，

∴点C的坐标为（2，3），

∵∠CPA=∠OBA，

∴点P在点A的左边时，坐标为（﹣1，0），

在点A的右边时，坐标为（5，0），

所以，点P的坐标为（﹣1，0）或（5，0）

（3）

解：存在．

∵点C（2，3），

∴直线OC的解析式为y= x，

设与OC平行的直线y= x+b，

联立 ，

消掉y得，2x2﹣19x+30﹣2b=0，

当△=0，方程有两个相等的实数根时，△QOC中OC边上的高h有最大值，

此时x1=x2= ×（﹣ ）= ，

此时y=（ ﹣4）2﹣1=﹣ ，

∴存在第四象限的点Q（ ，﹣ ），使得△QOC中OC边上的高h有最大值，

此时△=192﹣4×2×（30﹣2b）=0，

解得b=﹣ ，

∴过点Q与OC平行的直线解析式为y= x﹣ ，

令y=0，则 x﹣ =0，解得x= ，

设直线与x轴的交点为E，则E（ ，0），

过点C作CD⊥x轴于D，根据勾股定理，OC= = ，

则sin∠COD= = ，

解得h最大= × = ．

【解析】（1）写出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可；（2）根据抛物线解析式求出点A、B的坐标，然后求出∠OBA=45°，再联立两抛物线解析式求出交点C的坐标，再根据∠CPA=∠OBA分点P在点A的左边和右边两种情况求解；（3）先求出直线OC的解析式为y= x，设与OC平行的直线y= x+b，与抛物线y2联立消掉y得到关于x的一元二次方程，再根据与OC的距离最大时方程有且只有一个根，然后利用根的判别式△=0列式求出b的值，从而得到直线的解析式，再求出与x轴的交点E的坐标，得到OE的长度，再过点C作CD⊥x轴于D，然后根据∠COD的正弦值求解即可得到h的值．
【考点精析】掌握二次函数的性质是解答本题的根本，需要知道增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．