Question

【题目】已知：如图数轴上两点A、B所对应的数分别为-3、1，点P在数轴上从点A出发以每秒钟2个单位长度的速度向右运动，点Q在数轴上从点B出发以每秒钟1个单位长度的速度向左运动，设点P的运动时间为t秒．

（1）若点P和点Q同时出发，求点P和点Q相遇时的位置所对应的数；

（2）若点P比点Q迟1秒钟出发，问点P出发几秒后，点P和点Q刚好相距1个单位长度；

（3）在（2）的条件下，当点P和点Q刚好相距1个单位长度时，数轴上是否存在一个点C，使其到点A、点P和点Q这三点的距离和最小，若存在，直接写出点C所对应的数，若不存在，试说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）P出发秒或秒；(3)见解析.

【解析】

(1)由题意可知运动t秒时P点表示的数为-3+2t，Q点表示的数为1-t，若P、Q相遇，则P、Q两点表示的数相等，由此可得关于t的方程，解方程即可求得答案；

(2)由点P比点Q迟1秒钟出发，则点Q运动了(t+1)秒，分相遇前相距1个单位长度与相遇后相距1个单位长度两种情况分别求解即可得；

(3)设点C表示的数为a，根据两点间的距离进行求解即可得.

(1)由题意可知运动t秒时P点表示的数为-5+t，Q点表示的数为10-2t；

若P，Q两点相遇，则有

-3+2t=1-t，

解得：t=，

∴，

∴点P和点Q相遇时的位置所对应的数为；

(2)∵点P比点Q迟1秒钟出发，∴点Q运动了(t+1)秒，

若点P和点Q在相遇前相距1个单位长度，

则，

解得：；

若点P和点Q在相遇后相距1个单位长度，

则2t+1×(t+1) =4+1，

解得：，

综合上述，当P出发秒或秒时，P和点Q相距1个单位长度；

(3)①若点P和点Q在相遇前相距1个单位长度，

此时点P表示的数为-3+2×=-，Q点表示的数为1-(1+)=-，

设此时数轴上存在-个点C，点C表示的数为a，由题意得

AC+PC+QC=|a+3|+|a+|+|a+|，

要使|a+3|+|a+|+|a+|最小，

当点C与P重合时，即a=-时，点C到点A、点P和点Q这三点的距离和最小；

②若点P和点Q在相遇后相距1个单位长度，

此时点P表示的数为-3+2×=-，Q点表示的数为1-(1+)=-，

此时满足条件的点C即为Q点，所表示的数为，

综上所述，点C所表示的数分别为-和-.